[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Jest to tak zwany „problem zatrzymania” - czy można z góry przewidzieć, na podstawie znajomości szczegółów procedury obliczeniowej, czy maszyna obliczy po kolei wszystkie cyfry danej liczby i zatrzyma się, czy też wpadłszy w pętlę, nie zatrzyma się nigdy.Turing wykazał, że na problem zatrzymania odpowiedź jest zdecydowanie negatywna.Posłużył się przy tym sprytnym rozumowaniem.Przypuśćmy, powiedział, że maszyna uniwersalna jest w stanie rozwiązać problem zatrzymania.Co zatem stanie się, gdy maszyna ta spróbuje symulować samą siebie? W ten sposób znów wróciliśmy do problemu samoreferencji.Jak można tego oczekiwać, rezultatem jest zawieszenie się obliczeń.Usiłując symulować samą siebie, maszyna wpada w stan permanentnej pętli.Tak więc Turing doszedł do niezwykłego wniosku, będącego wariantem twierdzenia Godła o zdaniach nierozstrzygalnych: oto maszyna, która ma sprawdzić, czy dana procedura obliczeniowa nie zawiesi się, sama się zawiesza! W tym przypadku nierozstrzygalność dotyczy samych zdań nieroztrzygalnych: nie ma systematycznego sposobu pozwalającego rozstrzygnąć, czy dane zdanie jest rozstrzygalne czy nierozstrzygalne.Stanowiło to oczywiste zaprzeczenie możliwości zamierzonej przez Hilberta mechanizacji matematyki: twierdzenie, którego prawdziwości ani fałszywości nie sposób udowodnić poprzez systematyczną, ogólną procedurę.Głębokie znaczenie wniosku Turinga zostało obrazowo przedstawione przez Douglasa Hofstadtera: „Matematyka przeniknięta jest na wskroś nierozstrzygalnymi zdaniami, jak kawałek mięsa na stek przerośnięty jest włóknami chrząstki, których nie da się wyciąć bez zniszczenia całego steku”.Dlaczego możliwa jest arytmetyka?Wnioski Turinga zazwyczaj przytacza się w odniesieniu do matematyki i logiki.Niemniej jednak mówią nam one też coś o naturze rzeczywistego świata.W końcu, idea maszyny Turinga oparta jest na naszym intuicyjnym pojmowaniu, czym w ogóle jest maszyna, a rzeczywiste maszyny działają tylko dlatego, że umożliwiają im to prawa fizyki.Ostatnio fizyk teoretyczny z Oxfordu David Deutsch ogłosił tezę, że obliczalność jest właściwie własnością empiryczną, to znaczy zależy w istocie od tego, jaki jest świat, a nie jest wynikiem jakiejś koniecznej prawdy logicznej.„Uzasadnienia, dlaczego możliwe jest - pisze Deutsch - zbudowanie, na przykład, kalkulatorów elektronicznych czy też w ogóle wykonywanie obliczeń w pamięci, nie znajdziemy w obrębie samej matematyki i logiki.Jest to możliwe tylko dlatego, że prawa fizyki są akurat takie, iż dopuszczają istnienie fizycznej realizacji działań arytmetycznych, takich jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie.Gdyby tak nie było, te tak znane nam rachunki byłyby funkcjami nieobliczalnymi”.Teza Deutscha jest zaiste frapująca.Operacje arytmetyczne, takie jak liczenie, wydają się nam tak wpisane w naturę rzeczy, że nie możemy wyobrazić sobie świata, w którym nie byłyby one możliwe.Dlaczego tak jest? Sądzę, że odpowiedzi należy doszukiwać się w historii i naturze matematyki.Arytmetyka dotyczyła początkowo czysto praktycznych aspektów życia codziennego, takich jak pilnowanie, by nie zginęły owce ze stada, czy też elementarne rachunki.Jednakże na bazie tych podstawowowych działań dodawania, odejmowania i mnożenia nastąpił tak gwałtowny rozwój idei matematycznych i stały się one tak wyrafinowane, że ludzie stracili z oczu ich skromny praktyczny rodowód.Innymi słowy, matematyka zaczęła żyć swoim własnym życiem.Już w czasach Platona niektórzy filozofowie utrzymywali, że matematyce przysługuje niezależne istnienie.A my tak bardzo przywykliśmy do wykonywania prostych działań arytmetycznych, że z łatwością przychodzi nam wierzyć, iż muszą być one wykonywalne.Lecz w rzeczywistości ich wykonywalność zależy w zasadniczy sposób od natury świata fizycznego.Przykładowo, czy liczenie miałoby dla nas jakikolwiek sens, gdyby nie istniały oddzielne przedmioty, jak monety lub owce?Matematyk R.W.Hamming nie uznaje bynajmniej wykonywalności arytmetyki za rzecz oczywistą, uznając to za fakt dziwny i niewyjaśniony.„Próbowałem bez powodzenia - pisze - przekazać niektórym z moich przyjaciół moje zdumienie, że liczenie przy użyciu abstrakcyjnego pojęcia liczby jest w ogóle możliwe i tak użyteczne.Czyż nie jest czymś niezwykłym, że sześć owiec plus siedem owiec daje trzynaście owiec, i sześć kamieni plus siedem kamieni daje trzynaście kamieni? Czyż to nie cud, że Wszechświat jest tak urządzony, iż tak proste pojęcia abstrakcyjne jak liczba są możliwe?”.Fakt, że własności obliczeniowe arytmetyki znajdują swe odbicie w realnym świecie, ma głębokie implikacje.Oznacza, że w pewnym sensie świat fizyczny jest komputerem, tak jak sądził Babbage.Albo, co bardziej istotne, iż komputery są w stanie nie tylko symulować wzajemnie swoje działanie, lecz także symulować świat fizyczny.Oczywiście, jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że komputerów używa się do symulowania układów fizycznych; stąd w istocie bierze się ich ogromna użyteczność [ Pobierz całość w formacie PDF ]